LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Clasificación de números Complejos  Reales  Racionales  Enteros  Naturales  Naturales primos Naturales compuestos Cero Enteros negativos Fraccionarios Fracción propia Fracción impropia Irracionales Irracionales algebraicos Trascendentes Imaginarios

Los números complejos son aquellos números que tienen una parte imaginaria y la otra real:
A,B:   A es la parte real y B es la parte imaginaria.

En los números complejos se pueden realizar todas las operaciones:

• Suma

• Resta

• Multiplicación
• División

El conjunto de números complejos esta dividido en dos clases de numeros:

• Reales
• Irracionales

Los números reales 
El conjunto de números reales se representan con la letra R.

Este conjunto esta formado por los números racionales (se representan por la letra Q) y los números irracionales (se representan con la letra I)
Los números reales se representan en una recta numérica:

Los números reales son aquellos que están conformados por los positivos, los negativos, los decimales y las fracciones.
Con los números reales podemos realizar cualquier tipo de operaciones:

• La adición
• La sustracción
• La multiplicación
• La división
• La radicación
• La potenciación
• La logaritmación

La suma 

La suma o la adición es la operación básica por su naturalidad, que se combina con facilidad matemática, que consiste en combinar o añadir dos o mas números para obtener una cantidad final o total.

EJEMPLO:

3+2=5
manzanas

Estructura de la suma 

5489   1. Sumando

    36   2. Sumando

         
5525   TOTAL 

Propiedades de la suma:

Propiedad conmutativa: si se altera el orden de los sumandos no altera el resultado:

EJEMPLO:

No importa el orden siempre va a dar el mismo resultado.

Propiedad asociativa: esta propiedad establece que si se suman tres o mas números reales da el mismo resultado así se agrupen de diferente forma:

EJEMPLO:

Propiedad distributiva: en esta propiedad, si se suman dos números y se multiplican con un tercer numero esto es igual a multiplicar cada sumando por el tercer número. 

EJEMPLO:

En este caso el tercer numero seria el 5 multiplicado por 7+2= 5*9= 45
Si multiplicamos 5 por el 1. sumando + 5 por el 2. sumando=
35+10=45

Propiedad modulativa: el elemento neutro de la suma es el 0, entonces en esta propiedad de la suma, todo numero sumado por 0 da el mismo numero.

EJEMPLO:

Todo número sumado por 0 da el mismo número.

Propiedad invertiva: esta propiedad establece que en todo número real hay un numero negativo y otro positivo. El numero negativo se llama elemento opuesto y el positivo se llama inverso aditivo. el elemento opuesto es el único para cada positivo.

EJEMPLO:

La resta 

Es una de las 4 operaciones básicas de la aritmética, esta operación consiste en, teniendo una cantidad, eliminar una parte de esta. El resultado se conoce como diferencia o resto.

5-2=3

Estructura de la resta:

Propiedades de la resta:

La resta no tiene propiedades.

La multiplicación:

 Regla de signos de la multiplicación:

Estructura de la multiplicación:

Propiedades de la multiplicación:

Propiedad conmutativa: esta propiedad establece que el orden de los factores no altera el producto.
EJEMPLO:

Propiedad asociativa: esta propiedad establece que se pueden agrupar de diferente manera y no altera el producto.
EJEMPLO:

Propiedad distributiva:  esta propiedad es igual que la de la suma:
EJEMPLO:

Propiedad modulativa: esta propiedad es igual que la de la suma pero en la multiplicación el elemento neutro es el 1:
EJEMPLO:

La división:
Es una operación aritmética de descomposición que consiste en averiguar cuantas veces un número esta contenido en otro número. El resultado de una división recibe el nombre de cociente. La división es la operación inversa de la multiplicación.

En este caso la  tarta de manzana esta dividida en 4 partes y en cada parte  hay  5  manzanas.

Estructura de la división: 

la radicación: es la operación inversa de la potenciación.

 Estructura de la radicación:

propiedades de la radicación:
Raíz de un producto: la raíz de un producto de factores es igual al producto de las raíces de los factores.
EJEMPLO:

Raíz de un cociente: la raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del denominador.
EJEMPLO: 

Raíz de una raíz:  se multiplican los indices de las raíces y se conserva el radicando:
EJEMPLO: 

la potenciacion: es una operacion matematica entre dos terminos denominados base y exponente:

Estructura de la potenciacion:

Propiedades de la potenciacion:  

Potencia de exponente 0

Un número distinto de 0 elevado al exponente 0 da como resultado la unidad , puesto que:
EJEMPLO:

Potencia de exponente 1

Toda potencia de exponente 1 es igual a la base:
EJEMPLO:

Potencia de exponente negativo

Un número elevado a un exponente negativo, es igual al inverso de la misma expresión pero con exponente positivo:
EJEMPLO:

Multiplicación de potencias de igual base

El producto de dos potencias que tienen la misma base es igual a una potencia de dicha base que tiene como exponente la suma de los exponentes, es decir:

EJEMPLO:

División de potencias de igual base

El cociente de dos potencias que tienen la misma base es igual a una potencia de dicha base que tiene como exponente el resultado de restar el exponente del divisor al del dividendo, es decir:
EJEMPLO:

Potencia de un producto

La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevado al mismo exponente, es decir:
EJEMPLO:

Potencia de una potencia

La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyo exponente es el producto de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):
EJEMPLO:

Potencia de un cociente

La potencia de un cociente es igual al cociente de cada uno de los números elevado al mismo exponente.
EJEMPLO:

Propiedades que no cumple la potenciación:

No es distributiva con respecto a la adición y sustracción, es decir, no se puede distribuir cuando dentro del paréntesis es suma o resta:
EJEMPLO:

Potencia de base 10

Para las potencias con base 10, el efecto será desplazar la coma decimal tantas posiciones como indique el exponente, hacia la izquierda si el exponente es negativo, o hacia la derecha si el exponente es positivo.
EJEMPLO:

La logaritmación: la logaritmación es una operación la cual tiene la función de agregarle un exponente a la base para obtener un dicho resultado.

Estructura de la logaritmación:  

Los números racionales 

Los números racionales están conformados por los números naturales (se representan con la letra N) y los números enteros (se representan con la letra Z).

Los numeros racionales son aquellos que se pueden poner en forma de fracción.

EJEMPLO:

Si cortamos una tarta en 4 trozos iguales y nos tomamos tres trozos de la tarta nos hemos comido 3/4 de la tarta.

La suma, la resta, la multiplicación y la división de dos números racionales da como resultado otro numero racional.

Números naturales:  son aquellos números que se usan para contar. reciben este nombre porque fueron los primeros números que utilizo el ser humano para contar objetos. 

Operaciones entre números naturales:  en los números naturales se pueden hacer cualquier tipo de operaciones que sean con números naturales:

• suma
• resta
• multiplicación
• división
• radicación
• logaritmación
• potenciación

Los números enteros:   los números enteros son el conjunto de números positivos y negativos.

Operaciones entre números enteros:   las operaciones entre números enteros solo pueden ser aquellas que llevan números negativos y positivos:

• suma 
• resta 
• multiplicación
• división 

Los números irracionales 

Un numero irracional es aquel que posee infinitas cifras decimales, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción.

el numero irracional mas conocido es el  (pi) 

: 3,141592653589.....

Relaciones de orden:    En los números naturales siempre se pueden establecer una de las siguientes relaciones: 

• >: mayor que:  significa que : 2 es mayor que 1.
• <: menor que:  significa que : 5 es menor que 10.
• =: igual a:  3 es igual que 3
• ≤  : menor o igual que 
• ≥  : mayor o igual que

Operadores unarios:   son aquellos que actúan sobre solo un numero:
Inverso aditivo:   es el operador aplicado a un numero real que produce el inverso opuesto este operador se denota: -( )
EJEMPLO:
Al aplicar -( ) a  9 se obtiene: -(9) y esto es igual a -9 y este es llamado el opuesto de 9.

Inverso multiplicativo:   es el operador que aplicado a un numero real produce su inverso multiplicativo o reciproco. este operador se denota ( ) −1.

EJEMPLO:
Al aplicar ( )-1 a -5 se obtiene: (-5).
El valor absoluto:  es el operador que aplicado a un numero real los transforma en un numero positivo. este operador se denota: | |
EJEMPLO:
Al aplicar | | al número -45 se obtiene |-45|= 45.